Precalcolo Esempi

$\sqrt{1 + {(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ come $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ .

$\sqrt{1 + (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 2

Espandi $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 + x^{3 + 3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.1.2

Somma $3$ e $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{1 + x^{6} - x^{3} \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4 x^{3}}$ nel numeratore.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.4.2

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{3}} \frac{1}{4 x^{3}}}$

Passaggio 3.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{4 x^{3}}$ per $1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3}} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}}$

Passaggio 3.1.6.3

Moltiplica $\frac{1}{4 x^{3}}$ per $\frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3} (4 x^{3})}}$

Passaggio 3.1.6.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3} x^{3}}}$

Passaggio 3.1.6.5

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.6.5.1

Sposta $x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{3} x^{3})}}$

Passaggio 3.1.6.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3 + 3}}}$

Passaggio 3.1.6.5.3

Somma $3$ e $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $- \frac{1}{4}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + x^{6} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2 - 1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 4.2.4

Riordina i termini.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{16 x^{6}} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Rimetti in ordine i termini.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{16 x^{6}}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $16 x^{6}$ come ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ come ${(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 5.6

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$\frac{1}{2} = 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.7

Riscrivi il polinomio.

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 5.8

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x^{3}$ e $b = \frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 6

Per scrivere $x^{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} \cdot \frac{4 x^{3}}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

$x^{3}$ e $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3})}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3} x^{3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 (x^{3} x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3 + 3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 8.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 9.2

Applica la regola del prodotto a $4 x^{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{4^{2} {(x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 {(x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 10.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{3 \cdot 2}}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{6}}}$

Passaggio 11

Riscrivi $16 x^{6}$ come ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 12

Riscrivi $\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ come ${(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Passaggio 13

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$