Precalcolo Esempi

$\frac{11 x - 2}{x^{2} - x - 12}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{11 x - 2}{(x - 4) (x + 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{(11 x - 2) (x - 4) (x + 3)}{(x - 4) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(11 x - 2) (x - 4) (x + 3)}{(x - 4) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(11 x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(11 x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $11 x - 2$ per $1$ .

$11 x - 2 = \frac{(A) (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$11 x - 2 = \frac{A (x - 4) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 3)$ per $1$ .

$11 x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$11 x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$11 x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$11 x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 4)$ per $1$ .

$11 x - 2 = A x + 3 A + (B) (x - 4)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$11 x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 4$

Passaggio 1.7.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $B$ .

$11 x - 2 = A x + 3 A + B x - 4 B$

Passaggio 1.8

Sposta $3 A$ .

$11 x - 2 = A x + B x + 3 A - 4 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$11 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = 3 A - 4 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$11 = A + B$

$- 2 = 3 A - 4 B$

$11 = A + B$

$- 2 = 3 A - 4 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $11 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 11$ .

$A + B = 11$

$- 2 = 3 A - 4 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 11 - B$

$- 2 = 3 A - 4 B$

$A = 11 - B$

$- 2 = 3 A - 4 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $11 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = 3 A - 4 B$ con $11 - B$ .

$- 2 = 3 (11 - B) - 4 B$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (11 - B) - 4 B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 11 + 3 (- B) - 4 B$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $11$ .

$- 2 = 33 + 3 (- B) - 4 B$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 = 33 - 3 B - 4 B$

$A = 11 - B$

$- 2 = 33 - 3 B - 4 B$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $4 B$ da $- 3 B$ .

$- 2 = 33 - 7 B$

$A = 11 - B$

$- 2 = 33 - 7 B$

$A = 11 - B$

$- 2 = 33 - 7 B$

$A = 11 - B$

$- 2 = 33 - 7 B$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 2 = 33 - 7 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $33 - 7 B = - 2$ .

$33 - 7 B = - 2$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $33$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 B = - 2 - 33$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $33$ da $- 2$ .

$- 7 B = - 35$

$A = 11 - B$

$- 7 B = - 35$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 35$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 35$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 35}{- 7}$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 35}{- 7}$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 35}{- 7}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 35}{- 7}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 35}{- 7}$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $- 35$ per $- 7$ .

$B = 5$

$A = 11 - B$

$B = 5$

$A = 11 - B$

$B = 5$

$A = 11 - B$

$B = 5$

$A = 11 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $5$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 11 - B$ con $5$ .

$A = 11 - (5)$

$B = 5$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $11 - (5)$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$A = 11 - 5$

$B = 5$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sottrai $5$ da $11$ .

$A = 6$

$B = 5$

$A = 6$

$B = 5$

$A = 6$

$B = 5$

$A = 6$

$B = 5$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 6, B = 5$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{6}{x - 4} + \frac{5}{x + 3}$