Precalcolo Esempi

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(x - 2) (9 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $9 x$ e $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $10$ da $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Passaggio 2.3.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $11 x - x^{2} - 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Riordina $11 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Passaggio 2.3.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Passaggio 2.3.4.1.3

Scomponi $- 1$ da $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Passaggio 2.3.4.1.4

Riscrivi $- 28$ come $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Passaggio 2.3.4.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $x^{2} - 11 x + 28$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $28$ e la cui somma è $- 11$ .

$- 7, - 4$

Passaggio 2.3.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.3.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.6

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 2.3.7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 7) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 7, 4$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log (11 x - x^{2} - 18)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $11 x - x^{2} - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riordina $11 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Passaggio 3.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Passaggio 3.2.2.1.4

Riscrivi $- 18$ come $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 11 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 11$ .

$- 9, - 2$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.4

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 3.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 9) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 9, 2$

Passaggio 3.2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 3.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Passaggio 3.2.8.1.3

Il lato sinistro di $- 18$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 3.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Passaggio 3.2.8.2.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 3.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Passaggio 3.2.8.3.3

Il lato sinistro di $- 30$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

Passaggio 3.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 9$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(2, 9)$

Passaggio 4

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $0.77815125$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $1.07918124$ non è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $7 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $7 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $0.77815125$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Passaggio 5.5.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.5.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 4$ o $7 < x < 9$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Notazione degli intervalli:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Passaggio 8