Precalcolo Esempi

$\cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}) + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{7 π}{12})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Passaggio 1.2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Passaggio 1.2.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.2.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 1.2.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 1.2.4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 1.2.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$