Precalcolo Esempi

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Passaggio 4

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Passaggio 5

Sottrai $4$ da $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 9

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 3) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 3, - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = 3$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (3)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Calcola $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Passaggio 13.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Passaggio 13.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Passaggio 13.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Passaggio 13.4.3

Somma $3.14159265$ e $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 1$ .

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Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 14.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 14.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 14.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 14.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 14.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 14.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.6.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 14.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 14.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.6.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 14.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 16.1

Combina $1.24904577 + π n$ e $4.39063842 + π n$ in $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16.2

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{3 π}{4} + π n$ in $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$