Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x) + \log_{5} (x - 4) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (x - 4)) = 1$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot - 4) = 1$

Passaggio 1.3.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 4 x = 5^{1}$ .

$x^{2} - 4 x = 5$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} - 4 x - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 5, 1$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 5, - 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x) + \log_{5} (x - 4) = 1$ vera.

$x = 5$