Precalcolo Esempi

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$3 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 \cos^{2} (x)) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 \cos^{2} (x) - 3 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$6 \cos^{2} (x) - 4 - 5 \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 \cos (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$6 \cos^{2} (x) + (3 - 8) \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - 4 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$3 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 5

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $3 \cos (x) - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $3 \cos (x) - 4$ uguale a $0$ .

$3 \cos (x) - 4 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $3 \cos (x) - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cos (x) = 4$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x) = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x) = 4$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{4}{3}$

Passaggio 6.2.3

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $\frac{4}{3}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$