Precalcolo Esempi

$\log (3 x + 7) + \log (x - 2) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x + 7) (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(3 x + 7) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (3 x (x - 2) + 7 (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 7 (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\log (3 x^{2} - 6 x + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$\log (3 x^{2} - 6 x + 7 x - 14) = 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 6 x$ e $7 x$ .

$\log (3 x^{2} + x - 14) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (3 x^{2} + x - 14) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + x - 14$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{2} + x - 14 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} + x - 14 = 10$

Passaggio 3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + x - 14 - 10 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $10$ da $- 14$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica per $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $1$ come $- 8$ più $9$ .

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $3 x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $3 x - 8$ uguale a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $3 x - 8 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 8$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 8$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 8$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (3 x + 7) + \log (x - 2) = 1$ vera.

$x = \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{8}{3}$

Forma decimale:

$x = 2.\overline{6}$

Forma numero misto:

$x = 2 \frac{2}{3}$