Precalcolo Esempi

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $(x - 2) (2 x + 1)$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.3

Espandi $(x - 2) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.1.4.2

Sottrai $4 x$ da $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $(x + 2) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Espandi $(x + 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- x$ e $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Passaggio 4.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Passaggio 4.2.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Passaggio 4.2.3.4

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Passaggio 4.2.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Passaggio 4.2.5

Combina i termini opposti in $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 4.2.6

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Passaggio 4.2.6.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 4.2.6.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Passaggio 4.2.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2.8

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.9

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.9.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2.9.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.2.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ vera.

$x = 4$