Precalcolo Esempi

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Passaggio 1.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (9)$ come $\ln (3^{2})$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (3^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Passaggio 2.4.2

Dividi $\ln (3)$ per $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} + 6 x = 3$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.3

Somma $36$ e $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ vera.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$x = 0.46410161 \dots$