Precalcolo Esempi

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$