Precalcolo Esempi

$x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 10$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Passaggio 3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 10$

Passaggio 3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 10$

Passaggio 3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 - 10$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 12 \cdot 1 - 10$

Passaggio 3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 12 \cdot 1 - 10$

Passaggio 3.6

Moltiplica $12$ per $1$ .

$- 2 + 12 - 10$

Passaggio 3.7

Somma $- 2$ e $12$ .

$10 - 10$

Passaggio 3.8

Sottrai $10$ da $10$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 10}{x - 1}$

Passaggio 5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 10$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$10$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$	-	$10$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$	-	$10$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							+	$10 x$	-	$10$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x - 10$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 10$

Passaggio 6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 10$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} - 2 x + 10)$