Precalcolo Esempi

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 6.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 6.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$