Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 17$ per $- 1$ .

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $35$ per $1$ .

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $2$ e $17$ .

$19 + 35 - 9 - 45$

Passaggio 4.2.2

Somma $19$ e $35$ .

$54 - 9 - 45$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $9$ da $54$ .

$45 - 45$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $45$ da $45$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 17)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 19)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(19)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(35)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(54)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 54)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(9)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 45)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(45)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 45)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $27$ .

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $- 19$ per $9$ .

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.6

Sottrai $171$ da $54$ .

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $54$ per $3$ .

$- 117 + 162 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $- 117$ e $162$ .

$45 - 45$

Passaggio 7.1.1.3.9

Sottrai $45$ da $45$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ per $x - 3$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 13 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 13 x^{2} + 39 x$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 45$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e la cui somma è $b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 13$ come $- 3$ più $- 10$ .

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 7.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 7.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ .

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

Passaggio 10