Precalcolo Esempi

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Passaggio 2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Passaggio 2.4

Per scrivere $\frac{x + 3}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Passaggio 2.5

Per scrivere $- \frac{2}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $\frac{x + 3}{x + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.6.3

Riordina i fattori di $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8.5

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8.6

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.8.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 2.8.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $- 0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.5$ nella diseguaglianza originale.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $- 1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $5$ è maggiore del lato destro di $- 4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $2.\overline{3}$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Passaggio 11.5.3

Il lato sinistro di $1.4$ è maggiore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 \leq x < - 1$ o $0 < x \leq 1$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Passaggio 14