Precalcolo Esempi

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1 - (1) - 3$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 - (1) - 3$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + 3 - 1 - 3$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 1 - 3$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$3 - 3$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$	$4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$3$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 4 x + 3$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 4 x + 3$

Passaggio 7

Scomponi $x^{2} + 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) + (x + 1) (x + 3)$

$(x - 1) (x + 1) (x + 3)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - x - 3 = 0$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 3) - (x + 3) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 8.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi.

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Passaggio 8.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 11

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 12

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 3, - 1, 1$

Passaggio 14