Precalcolo Esempi

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 25 \cdot 4 + 100$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} - 25 \cdot 4 + 100$

Passaggio 4.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 - 25 \cdot 4 + 100$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$64 - 64 - 25 \cdot 4 + 100$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 25$ per $4$ .

$64 - 64 - 100 + 100$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $64$ da $64$ .

$0 - 100 + 100$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $100$ da $0$ .

$- 100 + 100$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 100$ e $100$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100}{x - 4}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 25)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 25)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(- 100)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(100)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$	$0$	$- 100$
	$1$	$0$	$- 25$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$- 25$	$100$
		$4$	$0$	$- 100$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 25$

Passaggio 7

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x - 4) x^{2} - 5^{2}$

Passaggio 8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 4) (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 4 x^{2}) - 25 x + 100 = 0$

Passaggio 9.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 4) - 25 (x - 4) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x - 4) (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x - 4) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 9.4

Scomponi.

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Passaggio 9.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 4) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 9.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 4) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 12

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 13

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 4, - 5, 5$

Passaggio 15