Precalcolo Esempi

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 4.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$3 + 1 + 8 - 12$

Passaggio 4.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$4 + 8 - 12$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $8$ .

$12 - 12$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 3)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 12)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 8 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 9.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $u^{2} + u - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $1$ .

$- 3, 4$

Passaggio 9.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Passaggio 9.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 9.7

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Passaggio 9.7.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 9.7.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 9.7.3

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 9.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Passaggio 9.9

Scomponi $- 2 u + u^{2} - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 9.9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Passaggio 9.10

Scomponi.

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Passaggio 9.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 9.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 11.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 11.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 12

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 13

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

Passaggio 15