Precalcolo Esempi

$x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 9)}^{3} + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 9$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$- 729 + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$- 729 + 7 \cdot 81 - 16 \cdot - 9 + 18$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $7$ per $81$ .

$- 729 + 567 - 16 \cdot - 9 + 18$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 16$ per $- 9$ .

$- 729 + 567 + 144 + 18$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 729$ e $567$ .

$- 162 + 144 + 18$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 162$ e $144$ .

$- 18 + 18$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 18$ e $18$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 9$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 9$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18}{x + 9}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 9)$ e posiziona il risultato di $(- 9)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(7)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(- 9)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$	$2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 9)$ e posiziona il risultato di $(- 18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(18)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + - 2 x + 2$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 7.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 7.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i, 1 - i$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 9) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$ .

$x = - 9, 1 + i, 1 - i$

Passaggio 10