Precalcolo Esempi

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$

Passaggio 1

Scomponi $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $0.125$ .

$0.5 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.5 + 4 \cdot 0.25 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $4$ per $0.25$ .

$0.5 + 1 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.6

Somma $0.5$ e $1$ .

$1.5 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 7$ per $0.5$ .

$1.5 - 3.5 + 2$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $3.5$ da $1.5$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$2$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x + 2$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Passaggio 1.6

Scrivi $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1$ più $4$ .

$(2 x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(2 x - 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Passaggio 3

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1) (x + 2)$

Passaggio 3.2

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1} (x + 2)$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(2 x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} (x + 2)$