Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ uguale a $0$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 12 \cdot 1 + 21 \cdot - 1 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$- 1 + 12 + 21 \cdot - 1 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $- 1$ e $12$ .

$11 + 21 \cdot - 1 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica $21$ per $- 1$ .

$11 - 21 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sottrai $21$ da $11$ .

$- 10 + 10$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $- 10$ e $10$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$21 x$

$10$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $11 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $11 x^{2} + 11 x$

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x + 10$

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 11 x + 10$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} + 11 x + 10) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2} + 11 x + 10$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 11 x + 10$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $10$ e la cui somma è $11$ .

$1, 10$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) ((x + 1) (x + 10)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

Passaggio 2.1.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x + 10) = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ .

$x + 10 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 10$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$ vera.

$x = - 1, - 10$

Passaggio 3