Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77$ uguale a $0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 73 \cdot - 1 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 73 \cdot - 1 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 73 \cdot - 1 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 1 + 5 - 73 \cdot - 1 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $- 1$ e $5$ .

$4 - 73 \cdot - 1 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica $- 73$ per $- 1$ .

$4 + 73 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.7

Somma $4$ e $73$ .

$77 - 77$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $77$ da $77$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$73 x$

$77$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 77 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							-	$77 x$	-	$77$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 77 x - 77$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							+	$77 x$	+	$77$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$73 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$73 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							+	$77 x$	+	$77$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x - 77$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{3} + 5 x^{2} - 73 x - 77$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 77) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2} + 4 x - 77$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 77$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 77$ e la cui somma è $4$ .

$- 7, 11$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) ((x - 7) (x + 11)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 7) (x + 11) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 7) (x + 11) = 0$ vera.

$x = - 1, 7, - 11$

Passaggio 3