Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ come un'equazione.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2 y + 1}{y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $\frac{2 y + 1}{y} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 y + 1}{y} = x$ per $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y + 1 = x y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y + 1 - x y = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y - x y = - 1$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $2 y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = - 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $2 - x$ ciascun termine in $y (2 - x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $2 - x$ ciascun termine in $y (2 - x) = - 1$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Passaggio 5.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{1}{2 - x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.4.1.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Passaggio 5.3.5.4

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

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Passaggio 5.3.5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Passaggio 5.3.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Passaggio 5.3.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Passaggio 5.3.5.5

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 5.3.5.5.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Passaggio 5.3.5.5.2

Sottrai $x$ da $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$