Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{9 - x^{2}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{9 - y^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{9 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{9 - y^{2}} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{9 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - y^{2}}$ come ${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(9 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$9 - y^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = x^{2} - 9$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x^{2} - 9$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x^{2} - 9$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 9$

Passaggio 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 9}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{- x^{2} + 9}$ .

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Passaggio 3.4.4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.4.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Riordina $- x^{2}$ e $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Passaggio 3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Passaggio 3.4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.