Precalcolo Esempi

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ come un'equazione.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + y}$ come ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 3.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Passaggio 3.5.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.2

Espandi $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{1 + x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{1 + x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{1 + x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{1 + x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ come $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x}$ come ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.1.5.5

Semplifica.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.3.3

Somma $\sqrt{1 + x}$ e $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Passaggio 5.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $0$ e $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Passaggio 5.2.4.3

Sottrai $2 \sqrt{1 + x}$ da $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.4

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{2} - 2 x)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Passaggio 5.3.4.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Passaggio 5.3.4.1.4

Riscrivi il polinomio.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Passaggio 5.3.4.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Passaggio 5.3.5.2

Riordina $2$ e $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$