Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ come un'equazione.

$y = \frac{x}{x - 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y}{y - 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 5 x = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 5 x = \frac{y}{y - 5} (y - 5)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 5 x = y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 5 x - y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = 5 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = 5 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 5 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 5 x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x}{x - 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x}{x - 5})}{(\frac{x}{x - 5}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

$5$ e $\frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.2

$- 1$ e $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - (x - 5)}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x - 5)}{x - 5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{0 + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Somma $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Passaggio 5.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Passaggio 5.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{5 x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{\frac{5 x}{x - 1}}{(\frac{5 x}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.2

$- 5$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} + \frac{- 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Scomponi $5$ da $5 x - 5 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.1.2

Scomponi $5$ da $- 5 (x - 1)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.1.3

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (0 + 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.5

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 \cdot 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{5}))$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $\frac{x - 1}{5}$ per $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$