Precalcolo Esempi

f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica e riordina il polinomio in ordine ascendente per usare la regola di Cartesio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi

{(x - 6)}^{2}

${(x - 6)}^{2}$ come

(x - 6) (x - 6)

$(x - 6) (x - 6)$ .

(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2

Espandi

(x - 6) (x - 6)

$(x - 6) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta

- 6

$- 6$ alla sinistra di

x

$x$ .

(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

- 6

$- 6$ .

(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sottrai

6 x

$6 x$ da

- 6 x

$- 6 x$ .

(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi

{(x + 2)}^{2}

${(x + 2)}^{2}$ come

(x + 2) (x + 2)

$(x + 2) (x + 2)$ .

(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Passaggio 1.5

Espandi

(x + 2) (x + 2)

$(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6.1.2

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

x

$x$ .

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Passaggio 1.6.2

Somma

2 x

$2 x$ e

2 x

$2 x$ .

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Passaggio 1.7

Espandi

(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica

$x^{2}$ per

$x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.1.2

Somma

$2$ e

$2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica

$x^{2}$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.3.1

Sposta

$x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.2

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.3.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.3

Somma

$1$ e

$2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.4

Sposta

$4$ alla sinistra di

$x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.5.1

Sposta

$x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.2

Moltiplica

$x^{2}$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.5.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.7

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.7.1

Sposta

$x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.7.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.8

Moltiplica

$- 12$ per

$4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.9

Moltiplica

$4$ per

$- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.10

Moltiplica

$4$ per

$36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.11

Moltiplica

$36$ per

$4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Sottrai

$12 x^{3}$ da

$4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.2

Sottrai

$48 x^{2}$ da

$4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.3

Somma

$- 44 x^{2}$ e

$36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.4

Somma

$- 48 x$ e

$144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Passaggio 3

Poiché ci sono

$2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo

$2$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es.

$(2 - 2)$ ).

Radici positive:

$2$ o

$0$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci

$x$ con

$- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a

$- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.3

Moltiplica

$x^{4}$ per

$1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a

$- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.5

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.7

Applica la regola del prodotto a

$- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.8

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.9

Moltiplica

$x^{2}$ per

$1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.10

Moltiplica

$- 1$ per

$96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Passaggio 6

Poiché ci sono

$2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo

$2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es.

$2 - 2$ ).

Radici negative:

$2$ o

$0$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è

$2$ o

$0$ e il numero di radici negative possibili è

$2$ o

$0$ .

Radici positive:

$2$ o

$0$

Radici negative:

$2$ o

$0$