Precalcolo Esempi

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica e riordina il polinomio in ordine ascendente per usare la regola di Cartesio.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 6)}^{2}$ come $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 6) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Passaggio 1.5

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Passaggio 1.6.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Passaggio 1.7

Espandi $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.8.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.8.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.1.7.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.8

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.9

Moltiplica $4$ per $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.10

Moltiplica $4$ per $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Passaggio 1.8.1.11

Moltiplica $36$ per $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.8.2.1

Sottrai $12 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.2

Sottrai $48 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.3

Somma $- 44 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Passaggio 1.8.2.4

Somma $- 48 x$ e $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Passaggio 3

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(2 - 2)$ ).

Radici positive: $2$ o $0$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- 1$ per $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Passaggio 6

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è $2$ o $0$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $2$ o $0$

Radici negative: $2$ o $0$