Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} - 25}{x}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x}$

Passaggio 5.2

Espandi $(x + 5) (x - 5)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 5) + 5 (x - 5)}{x}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{x}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.4

Riordina $x$ e $- 5$ .

$\frac{x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{x}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 5 x - 25}{x}$

Passaggio 5.2.10

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 25}{x}$

Passaggio 5.2.11

Sottrai $25$ da $0$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 5.8

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$25$

Passaggio 5.9

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - \frac{25}{x}$

Passaggio 5.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 7