Precalcolo Esempi

$x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 16 x - 192 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- x^{2}$ da $- x^{3} + 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $- x^{2}$ da $- x^{3}$ .

$- x^{2} x + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- x^{2}$ da $- x^{2} (x) - x^{2} (- 4)$ .

$- x^{2} (x - 4) + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $x^{4} - 16 x - 192$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{4} - 16 \cdot 4 - 192$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$256 - 16 \cdot 4 - 192$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$256 - 64 - 192$

Passaggio 1.3.3.4

Sottrai $64$ da $256$ .

$192 - 192$

Passaggio 1.3.3.5

Sottrai $192$ da $192$ .

$0$

Passaggio 1.3.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 16 x - 192}{x - 4}$

Passaggio 1.3.5

Dividi $x^{4} - 16 x - 192$ per $x - 4$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 4 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 16 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Passaggio 1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x^{2} - 64 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Passaggio 1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

Passaggio 1.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $48 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $48 x - 192$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Passaggio 1.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

$0$

Passaggio 1.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48$

Passaggio 1.3.6

Scrivi $x^{4} - 16 x - 192$ come insieme di fattori.

$- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $x - 4$ da $- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $x - 4$ da $- x^{2} (x - 4)$ .

$(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x - 4$ da $(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ .

$(x - 4) (- x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Passaggio 1.5

Somma $- x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Passaggio 1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi $x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.6.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 4) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48) = 0$

Passaggio 1.6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 4) (x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.6.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} + 16)) = 0$

Passaggio 1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + 16 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 16$

Passaggio 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 4$

Passaggio 5.2.3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 4 i$

Passaggio 5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4 i$

Passaggio 5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4 i$

Passaggio 5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4 i, - 4 i$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$ vera.

$x = 4, - 3, 4 i, - 4 i$