Precalcolo Esempi

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.6$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.6$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.6$ nel polinomio.

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.6$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $5$ per $0.216$ .

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.6$ alla potenza di $2$ .

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $7$ per $0.36$ .

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.6

Somma $1.08$ e $2.52$ .

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 11$ per $0.6$ .

$3.6 - 6.6 + 3$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $6.6$ da $3.6$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.6$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

Passaggio 1.5

Dividi $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ per $5 x - 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x + 3$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 1.6

Scrivi $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ come insieme di fattori.

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $5 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $5 x - 3$ uguale a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $5 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 3$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 3$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$