Precalcolo Esempi

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $4 x^{2} + 2 x - 1$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x + 1)$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 1))$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4.2.5

Dividi $B (x (x + 1))$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.9

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.9.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.5.9.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riordina $B$ e $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Passaggio 1.6.2

Sposta $A$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Passaggio 1.6.3

Sposta $B x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Passaggio 1.6.4

Sposta $A x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $A = - 1$ .

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $- 1$ .

$2 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $2 = - 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 2$ .

$- 1 + B = 2$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 + 1$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $4 = B + C$ con $3$ .

$4 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $4 = 3 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 + C = 4$ .

$3 + C = 4$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 4 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 1 B = 3 A = - 1$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 1, B = 3, A = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x + 1}$