Precalcolo Esempi

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 2 x - 8}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 2 x - 8 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 4, - 2$

Passaggio 2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 8 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $16$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 8 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 8 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $16$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $x \geq 4$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 2, x \geq 4}$

Passaggio 4