Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ da ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 4 \cdot 1$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$a = 4$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ nel numeratore.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $3$ da $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.4

Eleva $2$ alla potenza di $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.9

$3$ e $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $3$ per $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $256$ da $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Passaggio 5.6

Dividi $\frac{6305}{2187}$ per $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Passaggio 5.7

Moltiplica $4 (\frac{6305}{2187})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$4$ e $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $4$ per $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{25220}{2187}$

Forma decimale:

$11.53177869 \dots$

Forma numero misto:

$11 \frac{1163}{2187}$