Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log_{\frac{1}{3}} ({(x - 1)}^{2}) + 3$ è indefinita.

$x = 1$

Passaggio 1.2

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.3

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.4

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.5

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((2) - 1) + 3$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (1) + 3$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo in base $\frac{1}{3}$ di $1$ è $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 2.3

Converti $3$ in decimale.

$y = 3$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((4) - 1) + 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (3) + 3$

Passaggio 3.2.1.2

Il logaritmo in base $\frac{1}{3}$ di $3$ è $- 1$ .

$f (4) = 2 \cdot - 1 + 3$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (4) = - 2 + 3$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (4) = 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.3

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((10) - 1) + 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (9) + 3$

Passaggio 4.2.1.2

Il logaritmo in base $\frac{1}{3}$ di $9$ è $- 2$ .

$f (10) = 2 \cdot - 2 + 3$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (10) = - 4 + 3$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 4$ e $3$ .

$f (10) = - 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Converti $- 1$ in decimale.

$y = - 1$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 1$ e i punti $(2, 3), (4, 1), (10, - 1)$ .

Asintoto verticale: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 10 & - 1 \end{array}$

Passaggio 6