Precalcolo Esempi

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x^{2} + 1)$ per $1$ .

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.6.1

Sposta $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.6

Sposta $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5.2

Somma $(- 1) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$