Precalcolo Esempi

x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci

$1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci

$1$ nel polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva

$1$ alla potenza di

$3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva

$1$ alla potenza di

$2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 12$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica

$- 9$ per

$1$ .

$1 - 9 + 20 \cdot 1 - 12$

Passaggio 1.1.3.5

Sottrai

$9$ da

$1$ .

$- 8 + 20 \cdot 1 - 12$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica

$20$ per

$1$ .

$- 8 + 20 - 12$

Passaggio 1.1.3.7

Somma

$- 8$ e

$20$ .

$12 - 12$

Passaggio 1.1.3.8

Sottrai

$12$ da

$12$ .

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché

$1$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Dividi

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ per

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$12 x - 12$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$
										$0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 12$

Passaggio 1.1.6

Scrivi

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi

$x^{2} - 8 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi

$x^{2} - 8 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$12$ e la cui somma è

$- 8$ .

$- 6, - 2$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta

$x - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta

$x - 1$ uguale a

$0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Imposta

$x - 6$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta

$x - 6$ uguale a

$0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.2

Somma

$6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 5

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta

$x - 2$ uguale a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 1, 6, 2$