Precalcolo Esempi

P (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4

$P (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$

Passaggio 1

Imposta

x^{3} + 3 x^{2} - 4

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ uguale a

0

$0$ .

x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi

x^{3} + 3 x^{2} - 4

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , dove

p

$p$ è un fattore della costante e

q

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

p = \pm 1, \pm 4, \pm 2

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

\pm 1, \pm 4, \pm 2

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci

1

$1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

0

$0$ quindi

1

$1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci

1

$1$ nel polinomio.

1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva

1

$1$ alla potenza di

3

$3$ .

1 + 3 \cdot 1^{2} - 4

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva

1

$1$ alla potenza di

2

$2$ .

1 + 3 \cdot 1 - 4

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica

3

$3$ per

1

$1$ .

1 + 3 - 4

$1 + 3 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma

1

$1$ e

3

$3$ .

4 - 4

$4 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai

4

$4$ da

4

$4$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché

1

$1$ è una radice nota, dividi il polinomio per

x - 1

$x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi

x^{3} + 3 x^{2} - 4

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ per

x - 1

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

0

$0$ .

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

0 x

$0 x$

4

$4$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

x^{3}

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

4 x^{2}

$4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

4 x^{2} - 4 x

$4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

4 x

$4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

4 x - 4

$4 x - 4$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$4$ $4$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$4$ $4$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
										$0$ $0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è

0

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

x^{2} + 4 x + 4

$x^{2} + 4 x + 4$

x^{2} + 4 x + 4

$x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi

x^{3} + 3 x^{2} - 4

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ come insieme di fattori.

(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4) = 0

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4) = 0

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

(x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

4 x = 2 \cdot x \cdot 2

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

(x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0

$(x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove

a = x

$a = x$ e

b = 2

$b = 2$ .

(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0

$(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0$

(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0

$(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0$

(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0

$(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta

x - 1

$x - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta

x - 1

$x - 1$ uguale a

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta

{(x + 2)}^{2}

${(x + 2)}^{2}$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta

{(x + 2)}^{2}

${(x + 2)}^{2}$ uguale a

0

$0$ .

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni

x + 2

$x + 2$ uguale a

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0

$(x - 1) {(x + 2)}^{2} = 0$ vera.

x = 1, - 2

$x = 1, - 2$

x = 1, - 2

$x = 1, - 2$

Passaggio 3