Precalcolo Esempi

$\log_{x} (125) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (125) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 125$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $125$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 125 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $125$ come $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 5 x + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 5 x + 25$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ vera.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$