Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 5) (x + 15)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $15$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $5 x$ da $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Passaggio 3.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Passaggio 3.3

Sottrai $125$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $125$ da $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2} + 10 x - 200$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 200$ e la cui somma è $10$ .

$- 10, 20$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 3.8

Imposta $x + 20$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $x + 20$ uguale a $0$ .

$x + 20 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 20$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 10) (x + 20) = 0$ vera.

$x = 10, - 20$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ vera.

$x = 10$