Precalcolo Esempi

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4 u^{2}$ come ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Passaggio 2.4

Riscrivi il polinomio.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 2 u$ e $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Poni $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 9

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 9.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 10

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 10.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$