Precalcolo Esempi

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x - 1}{x - 2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x + 2}{x + 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{x - 1}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 3) (x - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x + 2}{x + 3}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.6

Espandi $(- x + 1) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.7.2

Somma $- 3 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.8

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.9

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.5.10

Somma $- 4$ e $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Passaggio 10

Trova il dominio di $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

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Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 10.2.2

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 10.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 10.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 10.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 3, 2$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $1.\overline{3}$ non è minore del lato destro di $0.875$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $0.75$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $0.\overline{6}$ non è minore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{857142}$ è minore del lato destro di $1.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ o $x > 2$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Passaggio 15