Precalcolo Esempi

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\sqrt{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ .

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $- \sqrt{2 x}$ per $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{2 x}$ per $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{2 x}$ alla potenza di $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{2 x}$ alla potenza di $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2 x}}^{2}$ come $2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.5

Semplifica.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $\sqrt{2 x}$ da $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Passaggio 4

Risolvi per $- 2 \sqrt{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ .

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 2 \sqrt{2 x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Passaggio 5

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Metti in evidenza il valore negativo.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.6

Somma $2$ e $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Semplifica.

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ${(- x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi ${(- x - 1)}^{2}$ come $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Passaggio 6.3.1.2

Espandi $(- x - 1) (- x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Passaggio 6.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Passaggio 6.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.5

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1 (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.1.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Passaggio 6.3.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Passaggio 7.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $8 x$ da $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Passaggio 7.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $4$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ vera.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 0.17157287 \dots$