Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 3 x \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + 3 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 3 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$x (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $18$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $10$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq 0$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

Passaggio 4