Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ come un'equazione.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + 4^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (1 + 4^{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riordina $x$ e $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori in $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $x \cdot 4^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $4^{y}$ da $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica per $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $4^{y}$ da $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $4^{y}$ da $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $4^{y} (1 - x) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $4^{y} (1 - x) = x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $4^{y}$ per $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.6

Espandi $\ln (4^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.7

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Passaggio 3.4.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Passaggio 3.4.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Sottrai $4^{x}$ da $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $1 + 4^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.5

Espandi $\ln (4^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Passaggio 5.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Passaggio 5.3.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Somma $- x$ e $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$