Precalcolo Esempi

$f (x) = - \log_{3} (x - 1) + 3$

Step 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Trova dove l'espressione $- \log_{3} (x - 1) + 3$ è indefinita.

$x \leq 1$

Poiché $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Step 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - \log_{3} ((2) - 1) + 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = - \log_{3} (1) + 3$

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$f (2) = - 0 + 3$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Somma $0$ e $3$ .

$f (2) = 3$

La risposta finale è $3$ .

$3$

Converti $3$ in decimale.

$y = 3$

Step 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \log_{3} ((4) - 1) + 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (4) = - \log_{3} (3) + 3$

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (4) = - 1 \cdot 1 + 3$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (4) = - 1 + 3$

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (4) = 2$

La risposta finale è $2$ .

$2$

Converti $2$ in decimale.

$y = 2$

Step 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = - \log_{3} ((10) - 1) + 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (10) = - \log_{3} (9) + 3$

Il logaritmo in base $3$ di $9$ è $2$ .

$f (10) = - 1 \cdot 2 + 3$

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (10) = - 2 + 3$

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (10) = 1$

La risposta finale è $1$ .

$1$

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Step 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 1$ e i punti $(2, 3), (4, 2), (10, 1)$ .

Asintoto verticale: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 2 \\ 10 & 1 \end{array}$

Step 6