Precalcolo Esempi

sin (2 x) + cos (x) = 0

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

2 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

2 sin (x) cos (x) + cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

{cos}^{1} (x)

$\cos^{1} (x)$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1 = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

cos (x) (2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

cos (x) (2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Risolvi

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di

$\arccos (0)$ è

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Semplifica

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Step 5

Imposta

$2 \sin (x) + 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta

$2 \sin (x) + 1$ uguale a

$0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Risolvi

$2 \sin (x) + 1 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = - 1$

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Dividi

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ è

$- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da

$2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a

$π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai

$2 π$ da

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

L'angolo risultante di

$\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di

$2 π$ e coterminale con

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Somma

$2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Somma

$2 π$ a

$- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$2 π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica

$6$ per

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Sottrai

$π$ da

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Step 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Step 7

Combina

$\frac{π}{2} + 2 π n$ e

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in

$\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$