Precalcolo Esempi

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{x - 3} + 2$ come un'equazione.

$y = e^{x - 3} + 2$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = e^{x - 3} + 2$ a $f (6)$ e $f (3)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $e^{3} - 1$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.1.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.6.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.6.3.1

Moltiplica $e$ per $1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

Passaggio 3.1.6.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $3$ da $6$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$