Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

Passaggio 2.1.2.1.7

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

Passaggio 2.1.2.1.8

$\frac{1}{4}$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Passaggio 2.2.3

Riordina $h x$ e $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Riordina i fattori di $h x$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $x h$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.4

$x h$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Per scrivere $\frac{h^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $\frac{h^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.9

Per scrivere $\frac{x^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.13

Per scrivere $- \frac{x^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.14

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.14.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17

Riscrivi $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.1

Sottrai $x^{2} \cdot 2$ da $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.2

Somma $h^{2} \cdot 2$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.4

Somma $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5

Scomponi $h$ da $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.5.1

Scomponi $h$ da $h^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5.2

Scomponi $h$ da $x h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5.3

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5.4

Scomponi $h$ da $h^{1}$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5.5

Scomponi $h$ da $h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.5.6

Scomponi $h$ da $h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.6

Sposta $2$ alla sinistra di $h$ .

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Passaggio 4.1.17.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

Passaggio 5