Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ come un'equazione.

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ a $f (4)$ e $f (2)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $4$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.4

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.5

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.7.2

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.8.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.10

Sottrai $1$ da $64$ .

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.4.11

Sottrai $14$ da $63$ .

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $4 (- (2))$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{49}{16 - 8}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $8$ da $16$ .

$\frac{49}{8}$