Precalcolo Esempi

$- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 ((x + h) (x + h))$

Passaggio 3.1.2.1.6

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 3.1.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 3.1.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 3.1.2.1.7.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.7.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.2.2

Sposta $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.2.3

Sposta $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $8 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Passaggio 3.2.5

Sposta $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Passaggio 3.2.6

Sposta $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Passaggio 3.2.7

Riordina $- 6 h^{2} x$ e $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Passaggio 3.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3} + 4 x^{2})}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3}) - (4 x^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - (4 x^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.4

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 0 - 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.5

Somma $- 2 h^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.6

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 0}{h}$

Passaggio 5.1.7

Somma $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ e $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Passaggio 5.1.8

Scomponi $2 h$ da $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Scomponi $2 h$ da $- 2 h^{3}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Passaggio 5.1.8.2

Scomponi $2 h$ da $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Passaggio 5.1.8.3

Scomponi $2 h$ da $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

Passaggio 5.1.8.4

Scomponi $2 h$ da $4 h^{2}$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 8 h x}{h}$

Passaggio 5.1.8.5

Scomponi $2 h$ da $8 h x$ .

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Passaggio 5.1.8.6

Scomponi $2 h$ da $2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Passaggio 5.1.8.7

Scomponi $2 h$ da $2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Passaggio 5.1.8.8

Scomponi $2 h$ da $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

Passaggio 5.1.8.9

Scomponi $2 h$ da $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)$ .

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$ per $1$ .

$2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- h^{2}) + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 h^{2} + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 2 (4 x)$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Passaggio 5.4

Sposta $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

Passaggio 5.5

Sposta $4 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 8 x + 4 h$

Passaggio 5.6

Sposta $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Passaggio 5.7

Riordina $- 6 x h$ e $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

Passaggio 6